L'espérance mathématique d'un business plan, posée comme un trade

Un comité d'investissement qui valide un projet à 400 000 € et un trader qui prend une position font exactement le même calcul. Probabilité de réussite multipliée par le gain, moins probabilité d'échec multipliée par la perte. La seule différence, c'est que l'un des deux l'écrit. Pas toujours celui qu'on croit.

Dans la plupart des comités auxquels j'ai assisté, le business plan présenté contient un seul scénario, celui qui marche, assorti d'une phrase sur la prudence des hypothèses. Personne ne dit à voix haute « nous estimons à 40 % la probabilité que ce projet ne tienne pas sa deuxième année ». Pourtant tout le monde y pense, chacun avec son chiffre dans la tête, et le vote se fait sur une moyenne implicite que personne n'a jamais calculée. Le trader discipliné, lui, inscrit sa probabilité de réussite avant d'entrer. C'est une pratique que la finance d'entreprise aurait intérêt à voler.

La formule, et ce qu'elle exige vraiment

L'espérance d'une variable aléatoire est la moyenne de ses valeurs possibles, pondérée par leur probabilité. La définition reprise par Wikipédia ajoute le point qui compte pour nous : par la loi forte des grands nombres, cette espérance est la moyenne asymptotique des résultats obtenus lorsqu'on répète un grand nombre de fois la même expérience de manière indépendante.

Retenez les trois conditions cachées dans cette phrase, parce qu'elles décident de la validité du calcul : un grand nombre de répétitions, la même expérience, l'indépendance. Un trader qui prend six cents positions par an avec le même système coche les trois. Un comité qui engage un projet industriel unique n'en coche aucune. Ce n'est pas une raison pour renoncer à la formule, c'est une raison pour savoir ce qu'elle dit et ce qu'elle ne dit pas. Elle dit : si nous prenions cette décision un grand nombre de fois, voilà ce que nous gagnerions en moyenne. Elle ne dit rien sur ce qui arrivera à ce projet-ci.

La version opérationnelle tient en une ligne :

E = (p × gain moyen en cas de succès) - ((1 - p) × perte moyenne en cas d'échec)

Dans le trading on appelle ça l'expectancy, et Tradoshi en détaille la mécanique dans sa fiche sur le calcul de l'espérance de gain d'un système. Dans un comité d'investissement, on l'appelle rarement. C'est le seul écart réel entre les deux métiers.

Poser l'espérance d'un projet, en quatre colonnes

Prenons une PME industrielle qui envisage une nouvelle ligne de conditionnement. Investissement initial : 400 000 €. Le dossier annonce un gain de 180 000 € par an sur cinq ans. Le comité le lit, le trouve raisonnable, et vote.

Posons-le autrement. Le guide du prévisionnel financier publié par Entreprendre Service Public rappelle que le prévisionnel d'un business plan se construit sur les trois années à venir en chiffrant charges, recettes, besoins de financement et fluctuations de l'activité. Ces fluctuations, justement : au lieu de les absorber dans une hypothèse médiane, on les éclate en scénarios, et on met une probabilité en face de chacun.

Scénario	Probabilité	Résultat cumulé sur 5 ans	Contribution
Le marché suit, cadence nominale atteinte	30 %	+620 000 €	+186 000 €
Montée en cadence plus lente de 12 mois	40 %	+310 000 €	+124 000 €
Volumes à 60 % de la cible, ligne sous-utilisée	20 %	-90 000 €	-18 000 €
Projet arrêté en année 2, actif revendu d'occasion	10 %	-260 000 €	-26 000 €
Espérance	100 %		+266 000 €

L'espérance est positive, nettement. Jusqu'ici le comité avait raison. Mais la vraie information est ailleurs : 30 % des cas détruisent de la valeur, et un cas sur dix coûte 260 000 €. Voilà ce que le business plan à un seul scénario ne disait pas, et voilà ce que la discussion doit traiter. La question n'est plus « est-ce que ça marche », elle devient « est-ce que nous survivons au scénario à -260 000 €, et que faisons-nous pour en réduire la probabilité ».

Dans le trading, cette mise en risque s'exprime en R multiple : on mesure chaque opération en multiples du risque initialement accepté, et non en euros, ce que Tradoshi explique dans sa page sur la mesure d'une opération en unités de risque. Transposé au comité, cela donne un réflexe simple : exprimez chaque scénario en multiples de la perte maximale acceptable. Ici, la perte maximale est de 260 000 €, soit 1 R. Le meilleur scénario rapporte 2,4 R. Un comité qui parle en R arrête de comparer des projets de tailles différentes avec des pourcentages trompeurs.

Pourquoi une espérance positive ne suffit pas

C'est le piège que le contrôle de gestion partage avec le trading, et la démonstration la plus propre vient des notes de cours sur le critère de Kelly. Dans un jeu favorable, deux chances sur trois de doubler sa mise contre une de la perdre, répété vingt fois, le document du département de statistique de l'UCLA montre que la stratégie maximisant l'espérance du capital final consiste à tout miser à chaque tour. Elle mène à un capital nul avec une probabilité de 0,99970. Miser une fraction fixe, optimale ici à un tiers, fait croître la fortune au rythme le plus rapide.

Traduction pour une direction financière : une espérance positive engagée sur une mise trop grosse est une faillite probable. Un projet à +266 000 € d'espérance avec une perte possible de 260 000 € est excellent pour une entreprise qui dégage 2 M€ de capacité d'autofinancement, et potentiellement mortel pour celle qui en dégage 300 000 €. L'espérance ne connaît ni la trésorerie ni les covenants bancaires. Elle ne sait pas que la perte arrive en mois 14 alors que l'encaissement du bon scénario arrive en mois 30. C'est exactement l'écart que j'ai décrit dans l'article qui traite le drawdown comme un besoin en fonds de roulement.

La conséquence pratique est la même des deux côtés : on dimensionne la mise avant de juger de la qualité du pari. Dans un portefeuille de projets, cela veut dire plafonner ce qu'un seul projet peut détruire, en pourcentage des fonds propres ou de la capacité d'autofinancement, et s'y tenir quelle que soit la beauté du dossier.

D'où viennent les probabilités, et comment éviter qu'elles mentent

L'objection arrive toujours : « nous ne connaissons pas ces probabilités ». C'est vrai, et ce n'est pas une excuse. Trois sources existent.

L'historique maison. Combien de projets d'investissement avez-vous lancés depuis cinq ans, combien ont tenu leur business plan à 20 % près ? Le taux obtenu est votre probabilité de départ, et il est en général plus bas que celui que chacun a en tête. Ce calcul prend une après-midi, et il vaut toutes les études sectorielles.

Le jugement d'expert, mais écrit avant. Chacun des membres du comité pose son chiffre sur papier, sans se concerter, puis on affiche l'éventail. Un écart de 30 % à 70 % sur la probabilité de succès est l'information la plus utile de la séance : elle signale que le groupe ne parle pas du même projet.

Les données extérieures, quand elles existent. Un avertissement s'impose ici, et il vaut d'abord pour les marchés. L'étude de l'AMF sur les résultats des particuliers en CFD et Forex porte sur 14 799 clients actifs suivis quatre ans : plus de 89 % ont perdu de l'argent, pour un résultat moyen de -10 887 € par client, et l'AMF chiffre l'espérance de perte à -10 900 €. Elle relève que ceux qui tradaient le plus et persistaient le plus longtemps perdaient le plus, ce qu'elle décrit comme une absence d'effet d'apprentissage. Autrement dit, l'espérance mesurée sur la population réelle était négative, pendant que chaque participant estimait la sienne positive. L'écart entre les deux porte un nom : l'excès de confiance dans ses propres probabilités.

Le test de lundi matin

Reprenez le dernier dossier d'investissement validé par votre comité. Pas le prochain, le dernier, celui dont vous connaissez déjà une partie du dénouement. Faites ceci, en une heure.

1. Écrivez quatre scénarios, du meilleur au pire, avec le résultat cumulé de chacun sur l'horizon du projet.
2. Demandez à trois personnes, séparément, d'affecter une probabilité à chaque scénario. Moyennez.
3. Calculez l'espérance. Calculez aussi la probabilité cumulée des scénarios négatifs.
4. Comparez la perte du pire scénario à votre capacité d'autofinancement annuelle. Si elle dépasse la moitié, la mise était trop grosse, quelle que soit l'espérance.
5. Rangez la feuille, datée. Vous la rouvrirez dans dix-huit mois.

C'est ce dernier point qui fait tout le travail. Une probabilité écrite avant devient vérifiable, c'est-à-dire qu'elle peut vous apprendre quelque chose. Une probabilité reconstruite après l'événement ne sert qu'à se donner raison, exactement comme l'écart budgétaire qu'on explique en réunion six mois trop tard, sujet que j'ai traité dans l'article sur le budget annuel qui ne pilote plus rien. Le trader appelle ça son journal. Le contrôleur de gestion devrait appeler ça sa revue de projets, et elle devrait mesurer d'abord la qualité de ses propres estimations, pas la rentabilité de ses dossiers.

Le calcul, lui, ne vaut rien tout seul. Il vaut par ce qu'il force à écrire.

Je suis Benjamin Roure L'Hermitte, contrôleur de gestion. J'écris ici sur la finance d'entreprise, les marchés financiers et le jeu d'échecs, trois terrains où l'on décide sous contrainte. En savoir plus sur moi et sur ce blog.